Raqamli tizimlar. Mumkin bo'lmagan raqamli tizimlar misoli

Raqamli tizimlar - bu nima? Hatto bu savolga javobni bilmasdan ham, har birimiz hayotimizda noaniq raqamlar tizimidan foydalanadi va bu haqda shubhalanmaydi. To'g'ri, ko'plikda! Bu bir emas, balki bir nechta. Pozitsial bo'lmagan raqamli tizimlarning misollarini keltirmasdan oldin, bu masalaga nazar tashlaylik, keling, pozisial tizimlar to'g'risida ham gaplashaylik.

Hisobga kirish kerak

Qadim zamonlardan buyon odamlar hisobga muhtoj edilar, ya'ni narsalar va hodisalarning miqdoriy ko'rinishini qanday qilib namoyon etish kerakligini tushunishgan. Miya, hisob uchun elementlardan foydalanish kerakligini taklif qildi. Eng qulay qo'llar har doim barmoqlar edi va bu tushunarli, chunki ular har doim mavjud (kamdan-kam istisnolari bilan).

Demak, insoniyatning qadimgi vakillari, barmoqlarini chin ma'noda bog'lab qo'yishlari kerak edi - masalan, o'ldirilgan mamontlarning sonini ko'rsatish. Hisobning bunday elementlari nomlari hali mavjud emas, faqat ingl. Rasm, taqqoslash.

Zamonaviy pozitsiyali raqamli tizimlar

Raqamlar tizimi - ma'lum ko'rsatkichlar (belgilar yoki harflar) yordamida miqdoriy qadriyatlar va miqdorlarni taqdim qilish uchun uslub (usul).

Noto'g'ri raqamli tizimlarning misollarini taqdim etishdan oldin, hisob-kitobda pozitsial va pozitsiyani nima ekanligini tushunish kerak. Positional raqamli tizimlar juda ko'p. Endi ikki xil (ikkita muhim element: 0 va 1), oltita (belgilar soni - 6), sakkizinchi (belgilar soni - 8), duodecimal (o'n ikkita belgi), o'n oltinchi belgidan iborat (o'n olti belgidan iborat) ikkilamchi foydalanadi. Va tizimlardagi har bir belgi noldan boshlanadi. Zamonaviy kompyuter texnologiyalari ikkilik kodlardan foydalanishga asoslangan - ikkilamchi manzillar soni tizimi.

O'ninchi raqamli tizim

Ijobiyligi raqamning belgilari bo'lgan turli xil muhim pozitsiyalarda mavjuddir. Buni o'nli raqamlar tizimi misolida eng yaxshi ko'rsatish mumkin. Axir biz bolaligidan foydalanardik. Ushbu tizimdagi belgilar o'n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ni tashkil etadi. 327 raqamini kiriting. Uch belgilar mavjud: 3, 2, 7. Har biri o'z pozitsiyasida joylashgan Joy). Ettita birlik qiymatlari (birliklar), ikkita o'nlab va uch yuz-yuzlar uchun himoyalangan mavqega ega. Shuning uchun bu raqam uchta qiymatga ega bo'lib, unda faqat uchta pozitsiya bor.

Yuqorida aytilganlarga asosan, bunday uch xonali sonli raqam quyidagicha ta'riflanishi mumkin: uch yuz, ikki o'nlab va etti birlik. Lavozimlarning ahamiyati (ahamiyati) chapdan o'ngga, zaif pozitsiyadan (birlik) kuchliroq (yuzlab) gacha.

O'nli kasr tizimida juda qulaymiz. Bizning qo'limizda o'n barmoq ham bor. Besh ortiqcha besh - barmoqlar tufayli biz bolaligimizdan o'nga yaqin odamni tasavvur qilamiz. Aynan shuning uchun bolalar besh va o'n barobar ko'paytirish stolini o'rganish oson. Va ko'pincha ko'paytiriladigan (ya'ni, qolgan qismini ajratmasdan) besh va o'nga teng pulli eslatmalarni hisoblashni o'rganish juda osondir.

Boshqa joylashishni aniqlash tizimlari

Ko'pchilikni hayratda qoldiradigan bo'lsak, o'nli kasr hisobida emas, balki bizning miyamiz ma'lum hisob-kitoblarni amalga oshirishga o'rganib qolganini aytish kerak. Bugungi kungacha insoniyat olti va o'n ikki raqamli raqamli tizimlardan foydalangan. Bunday tizimda faqat oltita belgilar mavjud (o'n oltinchi raqamda): 0, 1, 2, 3, 4, 5. O'n ikkinchi tartibda o'n ikkita: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, bu erda A - 10 sonini bildiradi, B - 11 raqami (belgisi bir bo'lishi kerak).

O'zingiz uchun hakam bo'ling. Bizning vaqtimiz oltitadir deb o'ylaymiz, shunday emasmi? Bir soat oltmish daqiqa (oltita), bir kun yigirma to'rt soat (ikki marta o'n ikki), bir yil o'n ikki oy va hokazo ... Barcha vaqt oralig'i osongina olti va o'n ikki qator qatorlarga to'g'ri keladi. Lekin biz juda ko'p narsalarni hisoblaymizki, vaqtni hisoblash haqida o'ylamaymiz.

Nominal bo'lmagan raqamli tizimlar. Unary

U nima ekanligini aniqlash kerak - pozitsial bo'lmagan raqamli tizim. Bu raqamli belgilar uchun pozitsiyalar mavjud bo'lmagan yoki biror pozitsiyadan raqamni "o'qish" tamoyiliga bog'liq bo'lmagan bunday belgisi. Bundan tashqari, yozma yoki hisoblash uchun o'z qoidalari bor.

Biz noaniq raqamli tizimlarning misollarini keltiramiz. Qadimgi qadamga qaytaylik. Odamlar hisobga muhtoj va eng oddiy ixtiro - nodullar bilan kelishdi. Joylashtirilmagan tizim nodal tizimdir. Misol uchun, sotib olish yoki sotish va magistralga tugunni bog'lashda bitta element (guruch, buqa, somon suti va boshqalar) hisoblangan.

Natijada ipda juda ko'p tugunlar paydo bo'ldi, guruchning qancha sumkasi (misol sifatida) sotib olindi. Shuningdek, u yog'och tayoq ustida, tosh taxtada va hokazolarda chiziqlar bo'lishi mumkin. Bunday raqamlash tizimi nodal tizim sifatida ma'lum bo'ldi. Ikkinchi ismi - unary, yoki bitta ("uno" lotin tilida "bir" degan ma'noni anglatadi).

Bu raqam tizimining pozitsial emasligi aniq. Axir, u (lavozim) faqat bitta bo'lsa, qanday holatlar bo'lishi mumkin! Ajablanarli darajada, Yerning ayrim qismlarida jarayon davom etadigan bir nechta raqamsiz raqamli tizim mavjud.

Joylashtirilmagan tizimlar uchun ham:

• Roman (harflarning harflarini yozish uchun - lotin ramzlari);
• Qadimgi Misr (Rimga o'xshash, shuningdek, ramzlar ishlatilgan);
• Alifbo (alifbo harflari ishlatilgan);
• Bobil (mixxat - tekis va teskari "kamin" dan foydalanilgan);
• Yunon (shuningdek, alifbo deb ataladi).

Rim raqam tizimi

Qadimgi Rim imperiyasi va ilm-fan, juda ilg'or edi. Rimliklarga bu dunyoga ilm-fan va san'atning foydali ixtirolari, jumladan, hisob-kitob tizimini berdi. Ikki yuz yil avval, Rim raqamlari biznes-hujjatlardagi miqdorlarni ifodalash uchun ishlatilgan (shuning uchun soxta narsalardan qochish kerak edi).

Rim raqamlari noaniq raqamlar tizimining namunasidir, hozir biz uchun ma'lum. Bundan tashqari, Rim tizimida matematik hisob-kitoblar uchun emas, balki tor yo'naltirilgan harakatlar uchun faol foydalaniladi. Misol uchun, rim raqamlari yordamida kitob nashrlarida tarixiy sanalar, yoshlar, sonlar, bo'limlar va boblarni belgilash odatiy holdir. Ko'pincha, soat belgilarini bezash uchun Rim belgilaridan foydalaning. Shuningdek, rim raqami - raqamsiz bo'lmagan raqamli tizimning misoli.

Rimliklarga lotin harflarida raqamlarni ko'rsatgan. Va ular ma'lum qoidalar bilan yozgan raqamlari. Romen raqamlar tizimidagi kalit belgilar ro'yxati mavjud bo'lib, ularning yordamida barcha raqamlar istisnosiz qayd etilgan.

Raqamlarni tuzish qoidalari

Kerakli sonlar belgilari (lotin harflari) qo'shib, ularning summasini hisoblab chiqdi. Rim tizimidagi belgilar qanday qilib ramziy ravishda yozilishi va ularni qanday "o'qishni" o'ylab ko'ring. Rimliklarning nostandart raqamlar tizimidagi raqamlarni shakllantirishning asosiy qonunlarini sanab o'tamiz.

1. To'rt-to'rtinchi raqam - ikki belgidan (I, V - bitta va besh) iborat. Bu kichik belgini chapdan katta bo'lsa, undan chiqarib olinadi. Kichikroq belgi o'ng tomonda bo'lsa, uni kiritish kerak, keyin oltinchi raqamni olamiz.
2. Yonma-yon turgan ikkita bir xil belgilarni kiritish kerak. Masalan: CC 200 (C-100) yoki XX-20.
3. Agar raqamning birinchi belgisi ikkinchi sondan kam bo'lsa, unda bu ketma-ketlikdagi uchinchi qiymati qiymati birdan kamroq bo'lgan ramz bo'lishi mumkin. Shubhalanmaslik uchun, misol keltiraylik: CDX-410 (kasrda).
4. Ba'zi katta raqamlar ko'p jihatdan ifodalanishi mumkin, bu esa Rim hisob tizimining kamchiliklaridan biridir. Quyida ba'zi bir misollar keltirilgan: MVM (Rim tizimi) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (kasr tizimi) yoki MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. Va bu barcha yo'llar emas.

Aritmetik usullari

Joylashtirilmagan raqamli tizim ba'zan sonlarni shakllantirish, ularni qayta ishlash (ular bo'yicha harakatlar) uchun murakkab qoidalar to'plamidir. Oddiy bo'lmagan raqamli tizimlardagi arifmetik operatsiyalar zamonaviy odamlar uchun oson emas. Qadimgi Rim matematiklariga hasad qilmang!

Qo'shish misoli. Ikki raqamni qo'shishga harakat qilamiz: XIX + XXVI = XXXV, bu vazifa ikkita amalda bajariladi:

1. Birinchidan, raqamlarni kichikroq qismlarini olamiz va qo'shamiz: IX + VI = XV (V dan keyin I va X oldin bir-birlarini "yo'q qilish").
2. Ikkinchidan, ikkita sonning katta qismini qo'shamiz: X + XX = XXX.

Chiqarish biroz murakkabroq. Kamaytirilgan raqam kompozitsion elementlarga bo'linishi kerak va bundan keyin kamaytirilgan va olinadiganlardagi takrorlanadigan belgilar qisqartirilishi kerak. 500 raqamidan biz 263 chiqadi:

D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII.

Roman raqamlarini ko'paytirish. Aytgancha, rimliklar arifmetik operatsiyalarning alomatlari yo'qligini eslatib qo'yish kerak, faqat ularni so'zlar bilan ifodalagan.

Ko'paytirishni ko'paytmaning har bir individual belgisi uchun ko'paytirish kerak edi. Shu tarzda polinomlarning ko'payishi amalga oshiriladi.

Bo'linishga kelsak, bu jarayon rim raqamlar tizimida eng murakkab masala bo'lib qolmoqda. Bu erda qadimgi Roman abakosi - abakus ishlatilgan. U bilan ishlash uchun odamlar maxsus tayyorgarlikdan o'tganlar (har bir kishi bunday ilmni o'zlashtira olmagan).

Notanish bo'lmagan tizimlarning kamchiliklari to'g'risida

Yuqorida aytilganidek, noaniq raqamli tizimlarda ba'zi kamchiliklar, foydalanishdagi noqulayliklar mavjud. Unary oddiy hisoblash uchun etarlicha sodda, ammo arifmetik va murakkab hisob-kitoblarga mos kelmaydi.

Rimda katta sonlarni shakllantirish uchun yagona qoidalar yo'q va tartibsizliklar paydo bo'lib, unda hisob-kitob qilish juda qiyin. Bundan tashqari, qadimgi rimliklar o'zlarining usullari yordamida yoza olishlari mumkin bo'lgan eng ko'p sonlar 100.000 edi.