Chiziqli tenglamalar tizimini echish uchun oddiy takrorlash usuli (Slough)

uni oydinlik asta-sekin orqali noma'lum qiymati qadriyatlarni topish uchun bir matematik algoritm - Simple takrorlash usuli, shuningdek, keyingi taxminan usuli, deb nomlangan. Bu usulning mohiyati nomi shama sifatida, asta-sekin, keyingi kishilarning dastlabki taxminiy ifoda etiladi ko'proq nozik natijalarini bormoqda, deb. Bu usul berilgan funksiyasi o'zgaruvchisining qiymatini topish uchun ishlatiladi, va tenglamalar tizimini echish bo'ladi, chiziqli va chiziqli bo'lmagan, ham.

Keling, bu usul chiziqli tizimlar hal amalga oshirilmoqda ko'rib chiqaylik. quyidagicha belgilangan-nuqta qaytarish algoritm bo'lib:

1. boshlang'ich matritsasi konvergentsiya sharoitlar tekshirish. A yaqinlik teorema: original tizimi Matritsa diagonal dominant bo'lsa (ya'ni, asosiy Diagonal elementlarini har bir qatorni mutlaq qiymati elementlar tomon diagonallar yig'indisidan ortiq kattaligi katta bo'lishi kerak), oddiy iterasyon usuli - konvergent.

2. original tizimi Matritsa har doim diagonal ustunlik emas. Bunday hollarda, tizim aylantirildi mumkin. yaqinlik holatini qondirish tenglamalar, masalan kam bo'lgan, butun chap va chiziqli kombinasyonları qilish bo'ladi birgalikda buklangan tenglama kerakli natijaga ishlab chiqarish uchun, ko'paytirib oling.

Asosiy diagonal bo'yicha olingan tizimi noqulay omillar bo'lsa, bu tenglama, har ikki tomon uchun shaklda shartlariga kiritiladi _i diagonal elementlar belgilari belgilari bilan mos _{kerak, i} X *.

3. normal ko'rinishga natijasida tizimini aylantirilmoqda:

^{x - = β - + α *} x -

quyidagicha Bu, masalan, ko'p jihatdan, amalga oshirilishi mumkin: birinchi tenglama vtorogo- x ₂ noma'lum orqali x ₁ izhor qilish _uchun, tretego- boshqalar x ₃ Shunday qilib, biz formula yordamida hisoblanadi:

_{α ij = - (a ij /} a ii)

_i = _i b / a _ii
ishonch yana normal turdagi natijasida tizimi yaqinlik holiga mos keladi, deb qiling:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1 va i = 1,2, ... n

4. aslida, ishlatiladigan izchil yondashuv usuli boshlang.

x ⁽⁰⁾ - boshlang'ich yondashuv, biz Bunga x ^(1), x ortidan ⁽¹⁾ Express x ifoda ^(2). bir Matrix shaklda umumiy formula quyidagicha:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Biz kerakli aniqligini etib qadar Biz, hisoblash:

_{max | x i (k) kasalliklarining} i (k + 1) ≤ ε

Shunday qilib, uning, amalda oddiy iterasyon usuli qaraylik. misol:
chiziqli tizimlari hal:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 ε aniqlik bilan = 10 ^-3

Modulning diagonal elementlarining bo'lsa ustun qarang.

Biz yaqinlik holati uchinchi tenglama bilan qondiriladi, deb qarang. birinchi va ikkinchi, biz ikki qo'shishingiz birinchi tenglama o'zgartirmoq:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Uchinchi bir ayirsak:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Biz ekvivalentida original tizimi o'zgartirdi:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Endi biz normal ko'rinishga tizimi kamaytirish:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Biz takrorlanuvchi jarayon yakınsama tekshirish:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, masalan, Ahvoli uchrashdi etiladi.

.3947
Boshlang'ich hamjihatlikni x ⁽⁰⁾ = 0.4762
.8511

normal turdagi tenglama bu qadriyatlarni o'rniga, biz quyidagi qiymatlarni qabul:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0.486793
0.446639

O'rinbosar yangi qadriyatlar, biz olish:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

Biz sizga belgilangan shartlarga javob qadriyatlar yaqinroq olish qadar qadar hisoblash davom etmoqda.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

natijalari to'g'riligini tekshiring:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

original tenglama olingan qadriyatlar o'rnini bosuvchi tomonidan olingan natijalar, to'liq tenglama qondirish.

Ko'rib turganimizdek, oddiy iteratsiya usuli juda aniq natijalar beradi, lekin bu tenglamani hal qilish, biz ko'p vaqt sarflash va noqulay kalkulyatordan qilish edi.