Muntazam polyhedra: elementlar simmetriya va maydoni

har doim ochiq-oydin emas algebra, farqli o'laroq nima uchun va qanday deb o'ylaysiz, bir Visual ob'ektini beradi, chunki geometriya go'zal. turli organlarning bu ajoyib dunyo muntazam polyhedra bezatishni.

muntazam polyhedra haqida umumiy ma'lumotlar

Ular sof qattiq deyiladi kabi ko'plab, muntazam polyhedrons ko'ra, yoki, noyob xususiyatlarga ega. Bu ob'ektlar bir necha ilmiy faraz ulangan bilan. Agar tana geometrik ma'lumotlarni o'rganish boshlanadi, siz deyarli muntazam polyhedra kabi bir tushuncha haqida hech narsa bilmayman, deb tushunadilar. maktabda bu ob'ektlarni taqdimot har doim qiziqarli emas, juda ko'p, hatto ular deb atalgan narsani esimda yo'q. ko'pchilik odamlar xotirasida u faqat bir kub bo'ladi. tana geometriya hech muntazam polyhedrons kabi mukammallikni ega emas. Bu geometrik organlarining barcha nomlari Qadimgi Yunonistonda kelib. Ular yuzlaridan sonini ifodalaydi: tetraedr - to'rt tomonlama, olti yoqlik - Allen, Oktaedr - sekizgen, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Bu geometrik tananing barcha koinotning Platonning kontseptsiyasi muhim o'rin egallaydi. - yong'in, icosahedron - suv kub - er, Oktaedr - havo tetraedr: Ulardan to'rttasi elementlar yoki sub'ektlar mujassam bo'ladi. Dodecahedron barcha narsani mujassam. U koinotning bir ramzi sifatida, asosiy hisoblangan.

a polyhedron konsepsiyasi umumlashtirish

Polyhedron poligonlar shunday bir cheklangan to'plam:

• poligonlar har qanday tomonning har bir vaqtning shu tomonda yana bir poligon faqat bir tomoni bo'ladi;
• Agar poligonlar unga tutash o'tib boshqa yurishimiz mumkin poligonlar har bir kelgan.

qovurg'a - polyhedron etuvchi Poligonlar uning yuzlariga va yon ifodalaydi. polyhedra vertices poligonlar uchlari bor. muddatli poligon yassi yopiq Ko'p chiziqlari tushunish bo'lsa, undan keyin, bir polyhedron biri belgilash uchun keladi. Bu muddat buzdi liniyalari bilan chegaralangan bo'ladi samolyot bir qismini anglatadi holda, u ko'pburchak dona iborat sirtini seziladi. Qavariq polyhedron uning yuzlari tutash samolyot bir tomonda yotgan tanasini, deyiladi.

a polyhedron va uning elementlari yana bir ta'rifi

Polyhedron geometrik tanani chegaralaydi qaysi, ko'pburchak iborat sirtini chaqirdi. Ular:

• non-do'ng;
• Qavariq (o'ng va noto'g'ri).

Muntazam polyhedron - maksimal simmetriya bilan bir raqam belgisi polyhedron hisoblanadi. muntazam polyhedra elementlari:

• Tetraedr: 6 qovurg'a 4 yuzlari 5 vertices;
• olti yoqlik (kub) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• Oktaedr 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Eyler teorema

Bu qirralarning, uchlari va yuzlari soni o'rtasidagi munosabatlar topolojik bir sohada teng belgilaydi. uchlari va yuzlari sonini (B + D) turli muntazam polyhedra qo'shib va qovurg'alar soni, ularni taqqoslash, u bir qoidani tanlashingiz mumkin: 2. oshdi uchlari va qirralarning (P) soniga teng yuzlari soni yig'indisi Bu oddiy formula olmoq mumkin:

• B + D = R + 2.

Bu formula barcha qavariq polyhedra uchun amal qiladi.

asosiy ta'riflar

navbatdagi polyhedron tushunchasi bir gapda tasvirlab mumkin emas. Bu ko'proq qimmatbaho va hajmi. A tanasi kabi e'tirof kerak, u ta'riflar bir qator javob kerak. Shunday qilib, bir geometrik tanasi bu shartlar bajarilganda navbatdagi polyhedron bo'ladi:

• u qavariq bo'ladi;
• qovurg'alar bir xil sonda uning uchlari bir-da yakınsar;
• uning barcha qirralari - bir-biriga teng muntazam ko'pburchak;
• Barcha dihedral yuritadigan tengdir.

muntazam polyhedra xususiyatlari

muntazam polyhedra 5 xil turi mavjud:

1. Cube (olti yoqlik) - bu bir tekis Apex burchagi 90 ° bo'lgan. Bu 3-tomonlama burchakka ega. Miqdori yuz 270 ° tepalik yuritadigan.
2. Tetraedr - 60 ° - tekis cho'qqi burchagi. Bu 3-tomonlama burchakka ega. 180 ° - miqdori yuz tepalik yuritadigan.
3. Oktaedr - 60 ° - tekis cho'qqi burchagi. Bu to'rt tomonlama burchakka ega. 240 ° - miqdori yuz tepalik yuritadigan.
4. Dodecahedron - 108 ° tekis cho'qqi burchagi. Bu 3-tomonlama burchakka ega. 324 ° - miqdori yuz tepalik yuritadigan.
5. Icosahedron - 60 ° - bu bir tekis cho'qqi burchagi mavjud. Bu besh qirrali burchakka ega. Miqdori yuz 300 ° tepalik yuritadigan.

muntazam polyhedra maydoni

geometrik organlari yuzasi maydoni (S) yuzlari soni (G) ko'paytiriladi muntazam ko'pburchak maydoni hisoblanadi:

• S = (a: 2) 2G CTG π / p x.

navbatdagi polyhedron hajmi

Bu qiymat baza muntazam ko'pburchak, yuzlarida soni muntazam piramida hajmini ko'paytirish orqali hisoblab, uning balandligi sohasida (r) ning bitilgan radiusi hisoblanadi:

• V = 1: 3rS.

muntazam polyhedra hajmi

boshqa har qanday geometrik jism, muntazam polyhedra kabi turli hajmi bor. Quyida ular hisoblash mumkin tomonidan formulalar:

• Tetraedr: α x 3√2: 12;
• Oktaedr: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• olti yoqlik (kub): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

muntazam polyhedra elementlari

Olti yoqlik va oktaedr dual geometrik jismlar hisoblanadi. Boshqa so'zlar bilan aytganda, ular bir-centroidi boshqa yuqori va aksincha sifatida qabul qilinadi, voqea bir-biriga chiqib olishingiz mumkin. Shuningdek dual icosahedron va dodecahedron bo'ladi. O'zi faqat tetraedr dual hisoblanadi. Yevklid uslubiga ko'ra kub yuzlarida "tomlarini" qurish bilan dodecahedron olti yoqlik olinishi mumkin. tetraedr uchlari kub har qanday 4 vertices bo'yida emas qo'shni juft bo'ladi. olti yoqlik (kub) olinishi mumkin, va boshqa muntazam polyhedra boshlab. qaramay muntazam çokgenler sanoqsiz, muntazam polyhedra bor, faqat 5 bor.

muntazam ko'pburchak radiusi

Bu geometrik organlari har bilan bog'liq konsentrik sohalar 3:

• uchlari o'tib tasvirlangan;
• unda o'rtasida uning yuzlari har bog'liq yozib;
• o'rtasidagi o'rtasida barcha qirralarning haqida.

quyidagi formula orqali tasvirlangan soha radiusi hisoblanadi:

• R a = 2 x tg π / g x tg θ: 2.

quyidagicha yozib sohasini radiusi hisoblanadi:

• R a = 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

qaerda θ - qo'shni taraflama orasidagi dihedral burchagi.

soha o'rtasidagi radius quyidagi formulalar yordamida hisoblab chiqish mumkin:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

h 4,6, 6,10, yoki 10 bitilgan tasvirlangan ning radiusi nisbati va nosimmetrik P va Q nisbatan buyukligini = qaerda. quyidagicha Bu hisoblanadi:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

polyhedra uyg'unligi

muntazam polyhedra uyg'unligi bu geometrik organlariga asosiy qiziqish uyg'otmoqda. Bu omillar, yuzlari va qirralarning bir xil miqdorda tark kosmosda organining harakati, deb tushuniladi. simmetriya ta'sir chetini transformations ostida Boshqa so'zlar bilan aytganda, uch yoki yuz asl o'rnini saqlab qoladi, yoki boshqa qovurg'a, boshqa uchlari yoki yuzlari Bosh sahifa lavozimiga harakat.

muntazam polyhedra ning simmetriya elementlari geometrik qattiq barcha turlari uchun umumiy bo'lgan. Bu erda original holatda ochko har qanday tark tenglik o'zgartirish, olib boriladi. Agar o'girib Bas, qachonki ko'pburchak prizma ba'zi nosimmetrik olishingiz mumkin. Ularning har qanday aks ettirish mahsulot sifatida ko'rsatish mumkin. to'g'ridan-to'g'ri deb nomlangan xulosam ham qator mahsulot hisoblanadi uyg'unligi. Ko'zgular bir g'alati soni mahsulot bo'lsa, u fikringiz deyiladi. Shunday qilib, chiziq atrofida Barcha burilishlar to'g'ri nosimmetrik vakili. Har qanday aks polyhedron - teskari mutanosiblik hisoblanadi.

yaxshi muntazam polyhedra uyg'unligi elementlarini tushunish uchun, siz tetraedr misol olishi mumkin. uchlari va markazida biri orqali o'tadi Har qanday yo'l geometrik shakli, sodir, va unga chet qarshi markazi orqali o'tadi. chiziq atrofida aylanadigan 120 va 240 ° Har ko'plik to'rt kenarlı holini simmetriya tegishli. 4 vertices va yuzlari buyon, biz sakkiz to'g'ridan-to'g'ri nosimmetrik jami olish. qirralarning o'rtasida va tanasining markazi orqali o'tuvchi liniyalari Har qanday, u qarama-qarshi tomonlarini o'rtasidan o'tadi. 180 ° har qanday aylanish, bir to'g'ri simmetriya atrofida bir yarim-burilish deb ataladi. tetraedr qovurg'alar uch juft ekan, siz simmetriya uch liniyalari olish. Yuqorida asosida, biz o'n ikki qadar bo'ladi, tenglik o'zgartirish, shu jumladan, umumiy to'g'ridan-to'g'ri simmetriya sonini va xulosa qilish mumkin. Boshqa to'g'ridan-to'g'ri simmetriya tetraedr mavjud emas, lekin u 12 teskari simmetriyaga ega. Binobarin, faqat 24 tetraedr nosimmetrik xarakterlanadi. tushunarli bo'lishi uchun, biz, karton navbatdagi tetraedr modelini qurish va uni geometrik tana, albatta, faqat 24 simmetriyaga ega bo'lgan ishonch hosil qilish mumkin.

Dodecahedron va icosahedron - tana maydonida eng yaqin. Icosahedron yuzlari eng ko'p, dihedral burchakka ega va barcha eng mahkam yozib sohaga yopishib mumkin. Dodecahedron uchidan eng burchak nuqson yirik qattiq burchakka ega. Bu cheklangan sohasida to'ldirish uchun, eng yuqori darajaga mumkin.

Brauzer, polyhedra

Biz hammamiz bolalikdan birga xususda muntazam polyhedra scan, tushunchalar, bir poda bor. poligonlar majmui mavjud bo'lsa, har bir tomoni polyhedron faqat bir tomoni bilan belgilangan, partiyalar identifikatsiya ikki sharoitlari bilan mos kelishi kerak:

• Har bir poligoni, siz tomoni aniqlash ega bo'lgan poligon borish mumkin;
• aniqlash tomoni bir xil uzunligi bo'lishi kerak.

Bu sharoit javob poligonlar, qator, va bir polyhedron saytlarini deyiladi. Bu organlarning har biri ularning bir necha bor. Misol uchun, bir kub bo'lgan 11 dona bor.