Turli yo'llar Pifagor teoremasi isbotlash uchun: misollar, ta'rifi va sharhlar

Bir narsa hipotenüs kvadratiga teng savol, har qanday voyaga etgan jasorat javob ishonch yuz foiz uchun: ". Oyoqlarning kvadratlar yig'indisi" Bu teorema mahkam har ta'lim shaxsning ongida xususda, lekin siz faqat buni isbotlash uchun birovni so'rang va qiyinchiliklar bo'lishi mumkin bo'ladi. Shuning uchun, Keling eslaylik va Pifagor teoremasi isbotlash uchun turli yo'llarini o'ylab.

Biografiyasi An haqida umumiy ma'lumot

Pifagor teoremasi deyarli har bir kishi uchun tanish, lekin nur uni qilgan negadir, inson hayoti uchun, shunday mashhur emas. Bu ta'mirlash mumkin emas. Agar Pifagor teoremasi isbotlash uchun turli yo'llarini kashf oldin Shuning uchun, biz qisqacha uning shaxsi bilan tanishish kerak.

Pifagor - faylasuf, matematik, qadimgi Yunoniston dastlab faylasuf. Bugungi kunda bu buyuk insonning xotirasida tashkil etildi afsonalar uning tarjimai holi ajrata juda qiyin. Lekin uning izdoshlari asarlaridan quyidagilar, Pifagor Samossky Samos orolida tug'ilgan. Uning otasi stonecutter normal edi, lekin uning onasi bir olijanob oiladan edi.

Afsonaga ko'ra, Pythagoras'tan tug'ilishi kimning sharaf va bola nomli yilda Pythia ismli ayol bashorat. o'g'ilning tug'ilgan uning bashoratga ko'ra odamlarga foyda va yaxshilik, bir poda olib edi. Bu aslida u.

teoremasining Tug'ilgan

yoshligida, Pifagor ko'chib Samos ma'lum Misr hikmatiga bilan uchrashish uchun Misrga. ular bilan uchrashuv so'ng, u ta'lim uchun tan va bilardi qaerda Misr falsafa, matematika va tibbiyot barcha katta yutuqlar.

Bu ehromlar izzating va go'zallik ilhomlanib Misr Pythagoras'tan, ehtimol, va uning buyuk nazariyasini yaratdi. Bu o'quvchilarni zarba bo'lishi mumkin, lekin zamonaviy tarixchilar Pifagor o'z nazariyasini isbotlash emas edi, deb ishonaman. Va faqat keyinchalik barcha zarur matematik hisob-kitoblarni nihoyasiga izdoshlari uning bilim kishisi.

u nima bo'lishidan qat'iy nazar, u hozir, bu teorema isboti, lekin bir necha bir necha usuli ma'lum. Bugungi kunda faqat yunonlar hisob qanday taxmin qilishimiz mumkin, shuning uchun Pifagor teoremasining isboti qarash turli xil yo'llari bor.

Pifagor "teorema

har qanday hisob boshlashdan oldin, siz isbotlash uchun qaysi nazariya topish kerak. Pifagor teoremasi deb: "burchak biri ^taxminan 90 bo'lgan uchburchak yilda oyoqlarning kvadratlar yig'indisi hipotenüs Kvadrat teng."

Jami Pifagor teoremasi isbotlash uchun 15 turli xil yo'llari bor. Bu shuning uchun ularning e'tiborini eng mashhur to'lash, juda yuqori ko'rsatkich hisoblanadi.

usuli bir

Birinchidan, biz berilgan deb bildirmoq. Ushbu ma'lumotlar Pifagor teoremasiga isboti boshqa usullari uchun kengaytirilgan bo'ladi, shuning uchun barcha mavjud tasviriy eslash huquqidir.

oyoqlari bilan berilgan to'g'ri burchakli uchburchak, va C teng hipotenüs deylik. Birinchi usul dalillarga asoslangan, chunki maydonni tugatish uchun zarur bo'lgan bir to'g'ri uchburchak deb.

Buning uchun, siz bir yilda bir oyog'ini tugatish uchun teng segment, va aksincha bir oyog'i uzunligi kerak. Bas, u maydonda ikki teng tomonini bo'lishi kerak. Biz faqat ikki parallel chiziqlar chizish mumkin, va kvadrat tayyor.

Ichkarida, natijada raqamlar asl uchburchak hipotenüs teng tomoni bilan boshqa kvadrat chizish kerak. Bu AC uchlari tugatish va kommunikatsiya parallel bo'lgan ikkita teng qismdan chizish zarur. Shunday qilib original to'g'ri burchakli hipotenüs triangles biri bo'lgan bir maydonda, uch tomonini olish. Docherty faqat to'rtinchi segment bo'lib qolmoqda.

Olingan naqsh asosida u maydonda tashqi maydoni tengdir, degan xulosaga mumkin (a + b) ^2. Agar arboblari ichiga qarash bo'lsa, ichki maydonida tashqari to'rt to'g'ri burchakli uchburchak ega ekanligini ko'rish mumkin. har bir maydoni 0,5av hisoblanadi.

4 * 0,5av + c ² a ² + 2av =: Shuning uchun, maydoni teng

Shuning uchun, (a + b) ² = c ² + 2av

Va shuning uchun, ² a ² + ² =

Bu teorema isbot.

Ikkinchi usul: Shu uchburchakda

Bu formula bu uchburchak qism geometriya tasdiqlash asosida olingan edi Pifagor teoremasining isbotidir. Bu deyilgan, deb bir to'g'ri uchburchak oyoqlari - uning hipotenüs o'rtacha proportsional va uchidan ⁹⁰ chiqadigan hipotenüs ^uzunligi.

dastlabki ma'lumotlar bir xil bo'ladi, shuning uchun uning isboti bilan darhol yarataylik. segmentida AB CD tomonida perpendikulyar Draw. uchburchak oyoqlari teng yuqorida tasdiqlash asoslangan:

AC = √AV * AD, CB = √AV * DV.

Pifagor teoremasi isbotlash uchun qanday savolga javob berish uchun, dalil, ham tengsizlikni kvadraturasi tomonidan boshqarilishi kerak.

AC ² = AB * BP va CB ² = AB * DV

Endi siz natijasida tengsizlik qo'shishingiz kerak.

AU ^{2 2} + CB = AB * (BP * ET) BP = AB + ET

Bu chiqadi:

AC ² + ² = CB AB * AB

Va shuning uchun:

AU ^{2 2} + CB = AB ²

Pifagor teoremasining dalil va uning hal turli yo'llari, bu muammoni ko'p qirrali yondashuv bo'lishi kerak. Biroq, bu variant oddiy biri hisoblanadi.

hisoblash yana bir usuli

Pifagor teoremasi isbotlash uchun turli yo'llar Tavsif modomiki eng o'zlari amaliyot boshladi yo'q kabi, aytish hech narsa bo'lishi mumkin. texnikada ko'p matematika, balki original uchburchak yangi raqamlar qurilishini nafaqat o'z ichiga oladi.

Bu holda u boshqa to'g'ri burchakli uchburchak IRR miloddan oyog'ini tugatish uchun zarur. Endi oyoq umumiy Quyoshdan bilan ikki uchburchakda bor

shunga o'xshash raqamlar yo'nalishlari keyin ularning o'xshash chiziqli yo'nalishlari, kvadratchalar sifatida nisbati bor, deb bilish,:

S _ABC * ² - S ² * _HPA = S * va _AVD ² - S ² * a _VSD

_Abc * S ⁽² -c ^{2) 2} * (S _AVD -S _VVD) =

² yetishgan ^{2 2} =

² a ² + ² =

sinfdan 8 Pifagor teoremasining dalil turli usullar, bu variant deyarli mos keladi, chunki, siz quyidagi amaliyoti foydalanishingiz mumkin.

eng oson yo'li Pifagor teoremasi isbotlash uchun. Sharh

Bu tarixchilar tomonidan ishoniladi, bu usul birinchi qadimiy Gretsiyada teoremasiga isboti uchun ishlatilgan. Bu, albatta, hech to'lashni talab qilmaydi, deb U eng oson bo'ladi. Agar to'g'ri bir rasm chizish bo'lsa, a ² + ² = c ^2, u ochiq-oydin ko'rinib bo'ladi tasdiqning dalil.

Bu jarayonda shartlari oldingi bir oz farq qiladi. teng yonli - teorema isbotlash uchun, to'g'ri burchakli uchburchak ABC, deb taxmin.

Hipotenüs AC maydonida yo'nalishi ustidan olib va uning uch tomonini docherchivaem. zarur Bundan tashqari, bir kvadrat hosil qilish, ikki diagonal chiziqlar o'tkazish uchun. Shunday qilib, ichki to'rt Teng tomonli uchburchak olish.

maydonida Docherty zarur va ularning har bir diagonal chiziq ustida ushlab sifatida do Catete AB va CD. ikkinchi, birinchi uch A chiziq torting - C dan

Endi biz natijada tasvir bir yaqin qarash kerak. hipotenüs sifatida AC original teng to'rt uchburchakda, lekin do Catete ikki, bu teoremasining echishga haqida gapiradi.

Aytgancha, bu ibora, Pifagor teoremasining isboti va sharofati mashhur iborani tug'ilgan: ". barcha yo'nalishlarda Pifagor Shimlar teng"

J. Isbot. Garfield

Dzheyms Garfild - Amerika Qo'shma Shtatlari yigirmanchi prezidenti. Amerika Qo'shma Shtatlari hukmdori, u ham bir iqtidorli o'zini-o'rgatgan edi Bundan tashqari, u tarixida o'zining iz qoldirgan.

uning karyerasi boshida, u xalq maktabda navbatdagi o'qituvchi edi, lekin tez orada oliy ta'lim muassasalaridan biri direktori bo'ldi. o'z-o'zini rivojlantirish uchun xohish va Pythagoras'tan teoremi isboti yangi nazariyasini taklif uni yoqishingiz. quyidagicha teorema va uning eritmasi misol bo'ladi.

Birinchi u ikkinchi bir davomi edi, shuning uchun bir oyog'i bo'lgan qog'oz ikki to'g'ri burchakli uchburchak chizish zarur. Bu uchburchak uchlari bir trapeze olish yakun ulangan bo'lishi kerak.

Ma'lumki, bir yamuk maydoni uning bazasini va balandligi yarim-summasining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

S = a + b / 2 * (a + b)

Biz uch uchburchak tashkil topgan arbobi sifatida natijada Yamuk, ko'rib, quyidagi uning maydoni topish mumkin:

S = AW / 2 * 2 + ^2/2

Endi ikki asl ifoda hisobni tenglashtirish uchun zarur

2av / 2 + c / 2 = (a + b) ^2/2

² a ² + ² =

Pythagoras'tan haqida va qanday qilib bitta hajmi darslik yozish mumkin emas isbotlash uchun. bu bilim amaliyotda qo'llanilishi mumkin emas Lekin u ma'no bormi?

Pifagor teoremasining amaliy dastur

Afsuski, zamonaviy maktab o'quv yagona geometrik muammolar bu teoremasining foydalanish uchun beradi. Bitiruvchilarga yaqinda maktab devorlarini tark va bilmagan, va ular amalda o'z bilim va ko'nikmalarini qanday qo'llash mumkin bo'ladi.

Aslida, ularning kundalik hayotda har yilda Pifagor teoremasi foydalanish. Va nafaqat professional faoliyatida, balki oddiy uy ishlarida ham. Pifagor teoremasi va qanday u juda zarur bo'lishi mumkin isbotlash uchun bir necha ishlarni ko'rib chiqaylik.

Aloqa teoremalar va astronomiya

Bu ular qog'ozda va yulduzlar uchburchak bilan bog'liq bo'lishi mumkin, deb tuyuladi. Aslida, astronomiya - ilmiy maydoni keng Pifagor teoremasi ishlatiladi.

Misol uchun, kosmosda yorug'lik nuri harakatini ko'rib. Bu nur Shu tezlikda har ikki yo'nalishda ham safar ma'lum. yorug'lik nurini harakat AB traektoriyasi, l deyiladi. Va engil uchun zarur Yarim biz qo'ng'iroq, B nuqtasiga A dan olish t. Va nuri tezligi - c. c * t = l: Bu ekan

Agar boshqa samolyot, bu ayni najotni, masalan, bunday nazorat organlari ostida, bir tezlik V bilan harakat bir kosmik kemasi, ularning tezligini o'zgartiradi. Biroq, hatto sobit elementlar qarama-qarshi yo'nalishda bir tezlik V bilan harakat qiladi.

comic layneri suzuvchi o'ng deylik. So'ngra nuri o'rtasidagi yirtilgan ball A va B, chap harakat qiladi. Bundan tashqari (t, bir nuqtada nur harakat B ishora qachon, ko'chib A vaqt ishora va shunga ko'ra, engil nuqtasi A ko'chib bo'ldi qaysi yarim masofani topish uchun yangi nuqtasi C kirib keldi, u yarim nur safar vaqtida kema tezligini ko'paytirish kerak ').

d = t '* V

Va yangi olxa s yarim nuqtasini va quyidagi ifoda belgilash uchun zarur bo'lgan nur tarqatib o'tib muvaffaq bo'ldi qanchalik ekanligini vaqt ichida topish uchun:

s = c * t "

Biz nur C va B, shuningdek, kosmik kema nuqtasi deb tasavvur bo'lsa - teng yonli uchburchak yuqori bo'lgan, astar bir nuqtada segment ikki to'g'ri burchakli uchburchak uni bo'linib ketadi. Shuning uchun, Pifagor teoremasiga tufayli nur tarqatib o'tib muvaffaq bo'ldi masofani topishingiz mumkin.

s = l ^{2 2} + d ²

faqat bir necha amalda uni sinash uchun etarli omadli bo'lishi mumkin, chunki, bu misol, albatta, yo'q, eng yaxshi, deb. Shuning uchun, biz bu teoremasining ko'proq oddiy ilovalarni ko'rib.

Radius mobil signal uzatish

Zamonaviy hayot smartfon borligi holda tasavvur qilish mumkin emas. Ular mobil orqali abonentlarni ulash uchun qila olmagan bo'lsa, Lekin qanday qilib ulardan ko'p tafovut qilinadi kerak edi?!

mobil aloqa sifati to'g'ridan antenna uyali aloqa operatori bo'lishi qaysi balandligi bog'liq. signal olishingiz mumkin qanchalik uzoq mobil telefon minoralaridan tushunishga uchun, siz Pifagor teoremasi foydalanishingiz mumkin.

Agar u 200 kilometr radiusda signal tarqatish mumkin, shunday qilib, bir qattiq minora taxminiy balandligi topish xohlagan deylik.

AB (minora balandligi) = x;

Sun (Signal radius) = 200 km;

OC (Yer radiusi) = 6380 km;

shu yerda

Ob = OA + AVOV = r + x

Pifagor teoremasi qo'llash, biz eng kam minora balandligi 2,3 kilometr bo'lishi kerak nima topish.

uyda Pifagor teoremasiga

Ishning g'alati, Pifagor teoremasi, masalan kabinet oralig'ining balandligi aniqlash, deb ham ichki masalalarda foydali bo'lishi mumkin. Birinchi qarashda, siz faqat bir lenta o'lchov bilan o'lchov olishi mumkin, chunki, bunday murakkab hisob-kitoblarni foydalanish uchun hech qanday ehtiyoj bor. Lekin ko'p Barcha o'lchovlari aniq ustidan olingan bo'lsa, qurilish jarayonini, ayrim muammolar bor nima uchun hayron.

haqiqat yashirin keyin gorizontal holatda yer va ko'tarib devorga o'rnatilgan, deb. Shuning uchun, erkin va balandligi oqib kerak dizayni va diagonal joylar ko'tarish jarayonida Mahkamasining yon devor.

Agar 800 mm chuqurlik shkafi, deb yozilgan. 2600 mm - tomi uchun qavatdan masofa. Tajribali kabinet Maker panjaralari balandligi xonaning balandligi kamroq 126 mm bo'lishi kerak, deydi. Lekin nima uchun 126mm haqida? Quyidagi misolni ko'rib chiqaylik.

Mahkamasining ideal yo'nalishlari ostida Pifagor teoremasi ta'sirini nazorat qiladi:

√AV AC = ² + ² √VS

AU = √2474 ² 800 ² = 2600 mm - barcha birlashadi.

Mahkamasining balandligi 2474 mm va 2505 mm ga teng emas, aytaylik. So'ngra:

AU = √2505 ² + √800 = 2629 mm ^2.

Binobarin, bu kabinet xonada o'rnatish uchun mos emas. uning to'g'ri o'rnini oldi qachon buyon uning tanasiga zarar olib kelishi mumkin.

Balki turli olimlar tomonidan Pifagor teoremasi isbotlash uchun turli yo'llarini ko'rib, biz u haqiqiy ko'proq ekanini xulosa qilish mumkin. Endi siz o'z kundalik hayotida ma'lumot foydalanish va barcha hisob-kitoblar nafaqat foydalidir amin, balki haqiqiy bo'lishi mumkin.